二次函数经典测试题及答案解析

一、选择题

1．如图，为等边三角形，点从A出发，沿作匀速运动，则线段的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选项C与D；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意．

【详解】

根据题意得，点从点运动到点时以及从点运动到点时是一条线段，故选项C与选项D不合题意；

点从点运动到点时，是的二次函数，并且有最小值，

∴选项B符合题意，选项A不合题意．

故选B．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．

2．二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　）

A．0＜t＜5 B．﹣4≤t＜5 C．﹣4≤t＜0 D．t≥﹣4

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，﹣1＜x＜4时﹣4≤y＜5，进而求解；

【详解】

解：∵对称轴为直线x＝2，

∴b＝﹣4，

∴y＝x2﹣4x，

关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解可以看成二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点，

∵﹣1＜x＜4，

∴二次函数y的取值为﹣4≤y＜5，

∴﹣4≤t＜5；

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．

3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（　　）

A．原数与对应新数的差不可能等于零

B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大

C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大

【答案】D

【解析】

【分析】

设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．

【详解】

解：设原数为m，则新数为 ，

设新数与原数的差为y

则，

易得，当m＝0时，y＝0，则A错误

∵

当 时，y有最大值．则B错误，D正确．

当y＝21时，＝21

解得＝30，＝70，则C错误．

故答案选：D．

【点睛】

本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．

4．二次函数＝（≠0）图象如图所示，下列结论：①＞0；②＝0；③当≠1时，＞；④＞0；⑤若＝，且≠，则＝2．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断

【详解】

解：抛物线的开口向下，则a＜0；

抛物线的对称轴为x=1，则-=1，b=-2a

∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；

由图像知x=1时 y=a+b+c是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=+c不是顶点纵坐标，不是最大值

∴＞（故③正确）

：b＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc＜0 （故①错误）

由图知：当x=-1时，y＜0；即a-b+c＜0，b＞a+c；（故④错误）

⑤若＝得-()=-ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-x2)=a(x1+x2)（x1-x2）+b(x1-x2)= （x1-x2）[a(x1+x2)+b]= 0

∵≠

∴a(x1+x2)+b=0

∴x1+x2==2 （故⑤正确）

故选D．

考点：二次函数图像与系数的关系.

5．已知抛物线，其顶点为，与轴交于点，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，点的对应点分别为，若四边形为矩形，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出A(2，c-4)，B(0，c)，，结合矩形的性质，列出关于c的方程，即可求解．

【详解】

∵抛物线，其顶点为，与轴交于点，

∴A(2，c-4)，B(0，c)，

∵将抛物线绕原点旋转得到抛物线，点的对应点分别为，

∴，

∵四边形为矩形，

∴，

∴，解得：．

故选D．

【点睛】

本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．

6．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【解析】

【分析】

B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.

【详解】

抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，

如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；

故选：B．

【点睛】

本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．

7．在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点（x1，m）、（x2，m）、（x3，m），则x1+x2+x3的结果是（　　）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征即可求得结果．

【详解】

解：如图，在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）和直线y＝﹣x的图象上有三点A（x1，m）、B（x2，m）、C（x3，m），

∵y＝a（x﹣m﹣1）2+c（a≠0）

∴抛物线的对称轴为直线x＝m+1，

∴＝m+1，

∴x2+x3＝2m+2，

∵A（x1，m）在直线y＝﹣x上，

∴m＝﹣x1，

∴x1＝﹣2m，

∴x1+x2+x3＝﹣2m+2m+2＝2，

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的对称性和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想画出函数图形．

8．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）

A． B． C．3 D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，

∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，

∴BF∥DE∥CM．

∵OD=AD=3，DE⊥OA，

∴OE=EA=OA=2．

由勾股定理得：DE=．

设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，

∵BF∥DE∥CM，

∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．

∴，即，解得：．

∴BF+CM=．

故选A．

9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为(　　)

①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；

②c＝a+3；

③a+b+c＜0；

④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】

试题分析：由抛物线与x轴有两个交点，可知b2-4ac＞0，所以①错误；

由抛物线的顶点为D（-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以②正确；

由抛物线的顶点为D（-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x==-1，可得b=2a，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；

由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．

故选C．

考点：二次函数的图像与性质

10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；

∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，

∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，

∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，

∴4a+c＞2b，∴②错误；

∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，

∴2a+2b+2c＜0，

∵b=2a，

∴3b，2c＜0，∴③正确；

∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，

∴y=a﹣b+c的值最大，

即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，

∴am2+bm+b＜a，

即m（am+b）+b＜a，∴④正确；

即正确的有3个，

故选B．

考点：二次函数图象与系数的关系

11．如图，已知，线段与轴平行，且，抛物线经过点和，若线段以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为（秒）.若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用待定系数法求出二次函数，得出B点坐标，分别得出当抛物线l经过点B时，当抛物线l经过点A时，求出y的值，进而得出t的取值范围；

【详解】

解：（1）把点C（0，3）和D（3，0）的坐标代入y=-x2+mx+n中，

得，

解得

∴抛物线l解析式为y=-x2+2x+3，

设点B的坐标为（-2，-1-2t），点A的坐标为（-4，-1-2t），

当抛物线l经过点B时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，

当抛物线l经过点A时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，

当抛物线l与线段AB总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，

解得：2≤t≤10．

故应选B

【点睛】

此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t的不等式是解题关键．

12．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，下列结论错误的是( )

A．斜坡的坡度为1: 2

B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势

C．小球落地点距O点水平距离为7米

D．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m

【答案】D

【解析】

【分析】

求出抛物线与直线的交点，判断、；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断；求出当时，的值，判定．

【详解】

解：，

解得，，，

∶7=1∶2，∴A正确；

小球落地点距点水平距离为7米，C正确；

，

则抛物线的对称轴为，

当时，随的增大而减小，即小球距点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，

当时，，

整理得，

解得，，，

当小球抛出高度达到时，小球水平距点水平距离为或，D错误，符合题意；

故选：D

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．

13．一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是()

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a＜0，b＞0，再由反比例函数图像性质得出c＜0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：＞0，即在y轴的右边，与y轴负半轴相交，从而可得答案.

【详解】

解：∵一次函数y=ax+b图像过一、二、四，

∴a＜0，b＞0，

又∵反比例 函数y=图像经过二、四象限，

∴c＜0，

∴二次函数对称轴：＞0，

∴二次函数y=ax2+bx+c图像开口向下，对称轴在y轴的右边，与y轴负半轴相交，

故答案为B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．

14．已知抛物线与直线有两个不同的交点．下列结论：①；②当时，有最小值；③方程有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则；其中正确的结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

根据“抛物线与直线有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．

【详解】

解：∵抛物线与直线有两个不同的交点，

∴有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故③正确，

∴，解得：，故①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，

∴当x=1时，为最小值，故②正确；

若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，

则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，

∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c，

∴两交点的横坐标分别为1-（4-c）=c-3与1+（4-c）=5-c

∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），

将（c-3,2）代入中得：

解得：或

∵，

∴，故④错误，

∴正确的有①②③，

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．

15．已知二次函数 (为常数),当自变量的值满足时,与其对应的函数值的最大值为-1,则的值为( )

A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6

【答案】B

【解析】

分析：分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．

详解：如图，

当h＜2时，有-（2-h）2=-1，

解得：h1=1，h2=3（舍去）；

当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；

当h＞5时，有-（5-h）2=-1，

解得：h3=4（舍去），h4=6．

综上所述：h的值为1或6．

故选B．

点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．

16．如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v＝1；②sinB＝；③图象C2段的函数表达式为y＝﹣x2+x；④△APQ面积的最大值为8，其中正确有（　　）

A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④

【答案】A

【解析】

【分析】

①根据题意列出y＝ AP•AQ•sinA，即可解答

②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可

③把sinB＝，代入解析式即可

④根据题意可知当x＝﹣时，y最大＝

【详解】

①当点P在AC上运动时，y＝ AP•AQ•sinA＝×2x•vx＝vx2，

当x＝1，y＝时，得v＝1，

故此选项正确；

②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，

当P在BC上时y＝•x•（10﹣2x）•sinB，

当x＝4，y＝ 时，代入解得sinB＝ ，

故此选项正确；

③∵sinB＝，

∴当P在BC上时y＝•x（10﹣2x）×＝﹣x2+ x，

∴图象C2段的函数表达式为y＝﹣x2+x，

故此选项不正确；

④∵y＝﹣x2+x，

∴当x＝﹣时，y最大＝ ，

故此选项不正确；

故选A．

【点睛】

此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解

17．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．

【详解】

令ax2+（a+c）x+c=ax+c，

解得，x1=0，x2=-，

∴二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的交点为（0，c），（−，0），

选项A中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，故选项A不符题意，

选项B中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＞0，c＜0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，

选项C中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，

选项D中二次函数y=ax2+（a+c）x+c中a＜0，c＞0，而一次函数y=ax+c中a＞0，c＜0，故选项C不符题意，

故选：D．

【点睛】

考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

18．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

点P、Q的速度比为3：，根据x＝2，y＝6，确定P、Q运动的速度，即可求解．

【详解】

解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝a，

设P、Q同时到达的时间为T，

则点P的速度为，点Q的速度为，故点P、Q的速度比为3：，

故设点P、Q的速度分别为：3v、v，

由图2知，当x＝2时，y＝6，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，

BQ＝2×v＝2v，

y＝AB×BQ＝6v×2v＝6，解得：v＝1，

故点P、Q的速度分别为：3，，AB＝6v＝6＝a，

则AC＝12，BC＝6，

如图当点P在AC的中点时，PC＝6，

此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，

则BQ＝x＝4，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣4＝2，

过点P作PH⊥BC于点H，

PC＝6，则PH＝PCsinC＝6×＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝3﹣2＝，

PQ＝＝＝2，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

19．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将抛物线沿坐标轴平移一次，使其经过点，则平移的最短距离为（ ）

A． B．1 C．5 D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出平移后P点对应点的坐标，求出平移距离，即可得出选项．

【详解】

解：=，

当沿水平方向平移时，纵坐标和P的纵坐标相同，把y=2代入得：

解得：x=0或6，

平移的最短距离为1-0=1；

当沿竖直方向平移时，横坐标和P的横坐标相同，把x=1代入得：

解得：y=，

平移的最短距离为，

即平移的最短距离是1，

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能求出平移后对应的点的坐标是解此题的关键．

20．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；

根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．

【详解】

解：由方程组得ax2＝−a，

∵a≠0

∴x2＝−1，该方程无实数根，

故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．

A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；

C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；

D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．

故选C．

【点睛】

本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．