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    2017年北京中考数学试卷(含答案)

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    2017 年中考数学卷精析版——北京卷120 分，考试时间



    （本试卷满分 120 分钟）


    一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

    3．（ 2017 北京市 4 分） 正十边形的每个外角等于【
    】

    A ．18



    B． 36 C． 45


    D． 60
    【答案】 B。

    【考点】 多边形外角性质。






    【分析】 根据外角和等于

    3600 的性质，得正十边形的每个外角等于
    3600 ÷10=360 。故选 B。



    4．（ 2017 北京市 4 分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【
    】
    A ．长方体
    【答案】 D。
    B ．正方体 C．圆柱 D．三棱柱
    【考点】 由三视图判断几何体。



    【分析】 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于主视图和左视


    图为矩形，可得为柱体，俯视图为三角形可得为三棱柱。故选

    D。
    6 个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖

    5．（ 2017 北京市 4 分） 班主任王老师将


    6 份奖品分别放在
    给小英等 6 位获 “爱集体标兵 ”称号的同学． 这些奖品中 3 份是学习文具， 2 份是科普读物， 1 份是科技馆通 票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是【
    A ．

    】 D．
    1
    B ．
    1
    C．
    1
    2
    6
    【答案】 B。


    3 2 3
    【考点】 概率。

    【分析】 根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就


    是其发生的概率。本题全部等可能情况的总数 6，取到科普读物的情况是 2。∴取到科普读物的概率是
    21
    。故选 B。
    6．（ 2017 北京市 4 分） 如图，直线 AB ，CD 交于点 O，射线 OM 平分∠ AOD ，若∠ BOD=76 0，则∠ BOM

    6
    3 等于【


    】
    A．38
    【答案】 C。

    B． 104

    C． 142







    D． 144


    【考点】 角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。 【分析】 由∠ BOD=76 0，根据对顶角相等的性质，得∠
    AOC=76 0，根据补角的定义，得∠
    COM=38 0。





    BOC=104 0。
    由射线 OM 平分∠ AOD ，根据角平分线定义，∠
    0∴∠ BOM= ∠ COM ＋∠ BOC=142 。故选 C。

    7．（ 2017 北京市 4 分） 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了 示：
    用电量（度）
    户数





    20 户家庭某月的用电量， 如下表所

    120 2
    140 3


    160
    6 】

    180
    7

    200 2
    则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是【 A ．180， 160
    【答案】 A 。
    【考点】 众数，中位数。


    B ． 160，180


    C．160， 160






    D． 180， 180



    【分析】 众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是 180 ，故这组



    数据的众数为 180。


    中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均

    数）。由此将这组数据重新排序为


    120，120，140，140，140，160，160，160，160，160，160，180，180，
    160，故这组数据的中
    180，180 ，180， 180，180，200， 200，∴中位数是第 10 和 11 个平均数，它们都是

    位数为 160。





    故选 A 。

    8．（ 2017 北京市 4 分） 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步，他从点

    A 出发，沿箭头所示方向经过点
    设小翔跑步的时间为
    B
    （t 单
    跑到点 C，共用时 30 秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程． 位：秒），他与教练的距离为

    y（单位：米），表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 】
    2 所示，则这个固定
    位置可能是图 1中的【


    A．点 M
    【答案】 D。
    B．点 N C．点 P D．点 Q
    【考点】 动点问题的函数图象 .

    【分析】 分别在点 M 、 N、 P、Q 的位置，结合函数图象进行判断，利用排除法即可得出答案：









    A 、在点 M 位置，则从


    A 至 B 这段时间内，弧
    AB 上每一点与点







    M 的距离相等，即 y 不随时间

    的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；
    B 、在点 N 位置，则根据矩形的性质和勾股定理，
    NA=NB=NC ，且最大，与函数图象不符，故本


    选项错误；


















    C、在点 P 位置，则 PC 最短，与函数图象不符，故本选项错误；


    D 、在点 P 位置，如图所示，①以
    Q 为圆心， QA 为半径画圆交 AB 于点 E，其中 y 最大的点是
    AE 的中垂线与弧 AB 的交点 H；②在弧 AB 上，从点 E 到点 C 上， y 逐渐减小；③ QB=QC ，即 yB =y C ，














    且 BC 的中垂线 QN 与 BC 的交点 F 是 y 的最小值点。经判断点
    故选 D。
    Q 符合函数图象，故本选项正确。




    二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）
    2分） 分解因式： mn +6mn+9m=▲． ．（ 北京市
    9 2017 4

    2
    【答案】 m n+3


    。
    【考点】 提公因式法和应用公式法因式分解。

    【分析】 要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，


    若有公因式， 则把它提取出来，
    之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，

    mn +6mn+9m=m n +6n+9 =m n+3
    10．（ 2017 北京市 4 分）若关于 x 的方程 x 【答案】 － 1。

    222

    。


    2
    2x m=0 有两个相等的实数根，则






    m 的值是

    ▲．
    【考点】 一元二次方程根的判别

    【分析】 根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为
    ∵关于 x 的方程 x2-2x-m=0 有两个相等的实数根，∴△ ∴（－ 2） 2－4×1×（－ m） =0，解得 m=－ 1。

    0，据此求出 m 的值即可： =0，





    11．（ 2017 北京市 4 分） 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 位置，设法使斜边


    DEF 测量树的高度 AB ，他调整自己的
    DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边
    m ．

    DE=40cm ，
    EF=20cm ，测得边 DF 离地面的高度 AC=1.5 m ， CD=8 m ，则树高 AB=▲
    【答案】 5.5。
    【考点】 相似三角形的判定和性质。
    【分析】 利用 Rt△ DEF 和 Rt△ BCD 相似求得 BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高
    ∵∠ DEF= ∠ BCD=90° ，∠ D= ∠ D，∴△ DEF ∽△ DCB 。∴
    EF

    AB ：

    BC DCDE

    。


    BC8 ∵ DE=40cm=0.4m ， EF=20cm=0.2m ， AC=1.5m ， CD=8m ，∴ 。 ∴BC=4 （ m）。

    0.2
    ∴ AB=AC+BC=1.5+4=5.5 （ m）。
    0.4

    12．（ 2017 北京市 4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，我们把横

    、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点
    A （ 0， 4），点 B 是 x 轴正半轴上的整点，记△ AOB 内部（不包括边界）的整点个数为

    m．当 m=3 时，点
    （用含 n
    B 的横坐标的所有可能值是

    ▲ ；当点 B 的横坐标为 4n（ n 为正整数）时， m=
    的代数式表示． ）



    【答案】 3 或 4； 6n－ 3。


    【考点】 分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。

    【分析】 根据题意画出图形，再找出点


    B 的横坐标与△ AOB 内部（不包括边界）的整点 m 之间的关系即
    可求出答案：

    如图：当点 B 在（ 3， 0）点或（ 4，0）点时，△ AOB 内部（不包括边界）的整点为（

    1， 1），
    （ 1， 2），（2， 1），共三个点，∴当 能值是 3 或 4。

    m=3 时，点 B 的横坐标的所有可当点 B 的横坐标为

    4n（ n 为正整数）时，
    ∵以 OB 为长 OA 为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（

    4n－ 1） ×3=12 n － 3，对角线 AB
    上的整点个数总为


    3，
    m=（ 12 n－ 3－ 3） ÷2=6n－ 3。
    ∴△ AOB 内部（不包括边界）的整点个数
    三、解答题（本题共




    30 分，每小题 5 分）



    13．（ 2017 北京市 5 分）计算：

    5 + 18

    0
    2sin 45     2    11

    .
    8
    7 。



    【答案】 解：原式 =1+3 2 2

    2 2

    8=2 2



    【考点】 实数的运算，零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂。



    【分析】 针对零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂


    4 个考点分别进行计算，然后
    根据实数的运算法则求得计算结果。


    16．（ 2017 北京市 5 分）已知：如图，点 E， A ， C 在同一条直线上， AB ∥ CD ， AB=CE ，AC=CD ．

    求证： BC=ED.


    【答案】 证明：∵ AB ∥ CD，∴∠ BAC= ∠ ECD，

    ∵在△ BAC 和△ ECD 中， AB=EC ，∠ BAC= ∠ECD ， AC=CD ，

    ∴△ BAC ≌△ ECD （ SAS）。∴ CB=ED 。


    【考点】 平行线的性质，全等三角形的判定和性质。







    【分析】首先由 AB ∥ CD ，根据平行线的性质可得∠ BAC= ∠ ECD，再由条件 AB=CE ，AC=CD 可证出△ BAC

    和△ ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等证出





    CB=ED 。
    xoy 中，函数 y=






    17．（ 2017 北京市 5 分）如图，在平面直角坐标系

    4 x


    x > 0 的图象与一次函数







    y=kx － k 的

    图象的交点为 A （ m， 2） .

    （ 1）求一次函数的解析式；



    （ 2）设一次函数 y=kx －k 的图象与 y 轴交于点 B，若 P 是 x 轴上一点， 且满足△ PAB 的面积是

    4，
    直接写出点 P 的坐标．


    【答案】 解：（ 1）将 A （ m， 2）代入 y= x > 0 得， m=2，则 A 点坐标为


    4A（ 2， 2）。
    x
    将 A （2， 2）代入 y=kx －k 得， 2k－k=2 ，解得 k=2 。 ∴一次函数解析式为 y=2x － 2。

    （ 2）（3， 0），（－ 1， 0）。


    【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（ 1）将 A 点坐标代入 y=
    4 x
    x > 0

    求出 m 的值为 2，再将（ 2， 2）代入 y=kx － k，求出 k 的值，



    即可得到一次函数的解析式。
    （2）将三角形以 x 轴为分界线，分为两个三角形计算，再把它们相加：

    ∵一次函数 y=2x － 2 与 x 轴的交点为 C（1， 0），与 y 轴
    的交点为 B（ 0，－ 2），
    ∴ 2 CP
    1

    2
    1 2 CP 4 ，解得 CP=2。 2
    ∴ P 点坐标为（ 3， 0），（－ 1， 0）。
    18．（ 2017 北京市 5 分）列方程或方程组解应用题：

    据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化

    空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的

    2 倍少 4 毫克，若
    一年滞尘 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘

    550 毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐
    树叶一年的平均滞尘量．

    【答案】 解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为


    x 毫克，
    2x－ 4）毫克，


    则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（





    由题意得：
    1000 2x 4

    550


    x
    。 ，解得： x=22
    经检验： x=22 是原分式方程的解。

    答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 22 毫克。



    【考点】 分式方程的应用。


    【分析】 设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 x 毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（ 2x－4）毫
    克，根据关键语句 “若一年滞尘 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 数相同， ”可得方程

    550 毫克所需的国槐树叶的片


    1000 550 2x 4
    x
    ，解方程即可得到答案。注意最后一定要检验。




    四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）
    19．（ 2017 北京市 5 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 E，∠ BAC=90 0，∠ CED=45 0， ∠ DCE=90 0，DE= 2 ， BE=2 2 ．求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积．




    【答案】 解：过点 D 作 DH ⊥AC ，


    ∵∠ CED=45° ， DH ⊥EC ，DE= 2 ，∴ EH=DH=1 。 又∵∠ DCE=30° ，∴ DC=2 ， HC= 3 。 ∵∠ AEB=45° ，∠ BAC=90° ， BE=2 ∴ AB=AE=2 。∴ AC=2+1+ ∴S
    四边形 ABCD



    2 ，

    3 =3+ 3 。 ） 3

    1 2 （ 2

    3    1

    1（

    3    3） 9 3 3

    2
    。
    2

    【考点】 勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，
    【分析】 利用等腰直角三角形的性质得出 EH=DH=1 ，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的
    一半得出 CD 的长，求出 AC ， AB 的长即可得出四边形


    ABCD 的面积。
    20．（ 2017 北京市 5 分）已知：如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上一点， OD ⊥BC 于点 D，过点 C 作 ⊙ O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连结 BE．

    （ 1）求证： BE 与⊙ O 相切；

    （ 2）连结 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB=9 ， sin


    ABC=     2 ，求 BF
    的长．
    3
    【答案】 证明：（ 1）连接 OC，

    ∵ OD ⊥ BC，∴ OC=OB ， CD=BD （垂径定理） 。 ∴△ CDO ≌△ BDO （HL ）。∴∠ COD= ∠BOD 。



    在△ OCE 和△ OBE 中，

    ∵ OC=OB ，∠ COE= ∠ BOE ， OE=OE ，

    ∴△ OCE≌△ OBE（ SAS）。∴∠ OBE= ∠ OCE=90° ，即 OB ⊥ BE 。∴ BE 与⊙ O 相切。

    （2）过点 D 作 DH ⊥AB ，


    ∵ OD ⊥ BC，∴△ ODH ∽△ OBD ，∴

    OD
    又∵ sin ABC= ，OB=9 ，∴ OD=6 。
    2OB


    OH OD


    DH 。 BD



    3
    ∴ OH=4 ，HB=5 ， DH=2 5 。 又∵△ ADH ∽△ AFB ，∴



    AH
    DH ，即 FB
    AB
    18 5 2 5 ，解得 FB= 18 FB

    36 5。 13
    【考点】 垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角

    函数定义。


    【分析】 （ 1）连接 OC，先证明△ OCE≌△ OBE ，得出 EB⊥ OB ，从而可证得结论。
    （ 2 ）过点 D 作 DH ⊥ AB ，根据 sin ABC=

    2 3
    ，可求出 OD=6 ， OH=4 ， HB=5 ，然后由



    △ ADH ∽△ AFB ，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出


    BF 的长。

    21．（ 2017 北京市 5 分）近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加， 2017 年北京市又调
    整修订了 2017 至 2020 年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据 制作的统计图表的一部分．



    北京市轨道交通已开通线路
    相关数据统计表（截至 2017 年底）
    开通时间


    开通线路 1 号线 2 号线 13 号线 八通线 5 号线 8 号线 10 号线 机场线 4 号线 房山线 大兴线
    运营里程
    (千米 31 23 41 19 28 5 25 28 28 22 22 23 21 20
    1971 1984 2003

    2007

    2017

    2017


    2017


    亦庄线 昌平线 15 号线



    请根据以上信息解答下列问题：

    （ 1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；

    （ 2）按照 2017 年规划方案，预计 2020 年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？

    （ 3）要按时完成截至 2017 年的轨道交通规划任务，从

    2017 到 2017 这 4 年中，平均每年需新增运营
    里程多少千米？

    【答案】 解：（ 1）根据表格所给数据即可得出：

    2017 年运营路程为： 200+28=228 。
    补全条形统计图如图所示：


    （ 2）∵根据统计表和扇形图，截止


    2017 年已开通运营总路程 336 千米，占计划的 33.6%，
    ∴预计 2020 年北京市轨道交通运营总里程将达到： 336÷33.6%=1000 （千米）。
    （ 3）∵截止 2017 年新增运营路程为： 1000×36.7=367 （千米），

    ∴从 2017 到 2017 年这 4 年中，平均每年需新增运营里程（


    367-36） ÷4=82.75（千米）。
    【考点】 统计表，条形统计图，扇形统计图，频数、频率和总量的关系，平均数。 【分析】（ 1）根据表格所给数据即可得出：
    （ 2）根据统计表和扇形图：截止
    2017 年运营路程为： 2017 年运营总路程 +28 求出即可。 2017 年已开通运营总路程和占计划的百分比，即可得出答案。


    （ 3）根据截止 2017 年新增运营路程为： 1000×36.7=367（千米）；从而得出从 2017 到 2017 年这


    4 年中，平均每年需新增运营里程。


    22．（ 2017 北京市 5 分）操作与探究：
    （ 1）对数轴上的点 P 进行如下操作：先把点





    P 表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移
    3






    11 个
    单位，得到点 P 的对应点 P′.
    点 A ，B 在数轴上，对线段
    AB 上的每个点进行上述操作后得到线段
    3 ，则点 A′表示的数是
    A′ B，′其中点 A ， B 的对
    ；若点 B′表示的

    E′与点 E 重


    应点分别为 A′， B′．如图 1，若点 A 表示的数是 数是 2，则点 B 表示的数是 合，则点 E 表示的数是
    ；

    ；已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得到的对应点









    （ 2）如图 2，在平面直角坐标系
    点的横、纵坐标都乘以同一种实数


    xoy 中，对正方形












    ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个




    a，将得到的点先向右平移


    m 个单位，再向上平移



    n 个单位（ m＞ 0,




    n＞ 0），得到正方形 A′ B′ C及′其D′内部的点，其中点
    A,B 的对应点分别为


    A′ ,B。′已知正方形
    ABCD
    内部的一个点
    F 经过上述操作后得到的对应点
    F′与点
    F 重合，求点 F 的坐标。



    【答案】 解：（ 1） 0；3； 。
    32










    a
    1
    2 ，解得 m 2

    1
    3a m

    （ 2）根据题意得，3a m
    0 a n





    2 1
    .
    n
    2 2
    设点 F 的坐标为（ x， y），


    ∵对应点 F′与点 F 重合，∴




    1 x 1 x
    x 2 2
    ，解得

    1 y 2 y y 2






    1 4


    。





    ∴点 F 的坐标为（ 1， 4）。
    【考点】 坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。

    【分析】 （ 1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点

    A′，设点 B 表示的数为 a，
    根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数，设点 E 表示的数为 b，根据题意列出方程计算即可得解：
    点 A′：－ 3× +1=－ 1+1=0。
    13
    设点 B 表示的数为 a，则 a+1=2，解得 a=3。 设点 E 表示的数为 b，则 a+1=b，解得 b= 。

    1    13 3
    32
    （ 2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点 F 的坐标为（ x，y），根据平移规律列出方程组求解即可。



    五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7分，第 24题 7 分，第 25
    2
    题8分）


    23． （ 2017 北京市 7 分） 已知二次函数 y (t 1x




    2(t 2x




    3
    在 x 0 和 x 2 时的函数值相等。
    2


    （ 1） 求二次函数的解析式； （ 2）
    若一次函数 y kx 6 的图象与二次函数的图象都经过点 A ( 3，m ，求 m 和 k 的值；

    （ 3） 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B,C （点 B 在点 C 的左侧），将二次函数的图象在点

    B,C 间
    的部分（含点 B 和点 C）向左平移 n(n 0 个单位后得到的图象记为 向上平移 n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象
    C，同时将（ 2）中得到的直线 y kx 6

    G 有公共点时， n 的取值范围。
    【答案】解：（ 1）∵二次函数在 x
    0 和 x 2 时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴为x 1 。
    ∴2 t 2



    1 ，解得 t
    3 。


    2 t
    1
    2

    ∴二次函数解析式为 y
    1 2
    2
    x

    x
    3

    。
    2 （ 2）∵二次函数图象经过1 A ( 3，m 点，
    ∴ m
    × 3
    3 3
    6 ，A （－ 3，－ 6）。






    2










    2


    2
    又∵一次函数 y kx 6 的图象经过 A 点，

    ∴ 3k
    66 ，解得 k
    4 。






    （ 3）由题意可知，二次函数在点
    B ， C 间的部分图象的解析式为



    y1
    x 3 x 1 ， 1 ≤ x ≤ 3 ，


    2









    则向左平移后得到的图象 C 的解析式为 y1


    x 3 n x
    1 n ， n
    1≤ x ≤ 3 n 。






    2



    此时一次函数 y 4x 6 的图象平移后的解析式为 y 4x
    6 n 。

    ∵平移后的直线与图象 C 有公共点，∴两个临界的交点为

    n 1，0 与 3 n，0 。
    ∴当 x= n 1 时， 0 4
    n 1 6 n ，即 n
    2 ；







    3
    当 x=3 n 时， 0 4 3 n 6 n ，即 n 6 。












    ∴ ≤ n ≤ 6 3
    2【考点】 二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质。 【分析】 （1）由二次函数在

    x 0 和 x
    2 时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为










    x
    0+22


    =1 ，从
    而由对称轴公式
    x

    b
    =1 可求得

    t

    2a
    （ 2）由二次函数图象经过


    3 ，从而求得二次函数的解析式。 2

    1 2 3
    A ( 3，m 点代入 y x x

    m

    6


    2



    2 可求得


    ，从而由一次函数
    y kx 6 的图象经过 A 点，代入可求得 k 4 。




    （ 3）根据平移的性质，求得平移后的二次函数和一次函数表达式，根据平移后的直线与图象
    有公共点，求得公共点的坐标即可。
    C



    24、【 2017 北京】在 ABC 将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 1
    （ ）若 并写出


    中， BA BC ， BAC ， M 是 AC 的中点， P 是线段 BM 上的动点，
    且点 P与点
    2 得到线段 PQ .

    CQ 1
    M 重合（如图 ），线段 的延长线交射线 BM 于点 D ，请补全图形，





    CDB 的度数；
    CQ 2 2 B
    的延长线与射线 BM 交于点 D ，猜想 （ ）在图 中，点 P 不与点 ， M 重合，线段

    （用含
    的代数式表示），并加以证明；






    CDB 的大小
    （ 3）对于适当大小的
    ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B ， M 重合）时，能使得线段
    CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ，且 PQ
    【答案】 解：（ 1）补全图形如下：



    QD ，请直接写出




    的范围 .




    ∠ CDB=30° 。

    （ 2）作线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，连接 PC，AD ，

    ∵ AB=BC ， M 是 AC 的中点，∴ BM ⊥ AC 。

    ∴ AD=CD ， AP=PC，PD=PD 。

    在△ APD 与△ CPD 中，∵ AD=CD ， PD=PD ， PA=PC

    ∴△ APD ≌△ CPD （SSS）。

    ∴ AP=PC，∠ ADB= ∠ CDB ，∠ PAD= ∠PCD。

    又∵ PQ=PA，∴ PQ=PC ，∠ ADC=2 ∠ CDB ，∠ PQC=∠ PCD= ∠PAD。

    ∴∠ PAD+ ∠ PQD= ∠ PQC+∠ PQD=180° 。

    ∴∠ APQ+ ∠ ADC=360° －（∠ PAD+ ∠PQD ） =180°。

    ∴∠ ADC=180° －∠ APQ=180° － 2α，即 2∠ CDB=180° － 2α。

    ∴∠ CDB=90° － α。


    （ 3） 45°＜ α＜ 60°。


    【考点】 旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，。



    【分析】（ 1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△


    CMQ 是等边三角形，即可得出答案：
    ∵ BA=BC ，∠ BAC=60° ， M 是 AC 的中点，∴ BM ⊥AC ， AM=AC 。
    ∵将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2α得到线段

    PQ，∴ AM=MQ ，∠ AMQ=120° 。
    ∴ CM=MQ ，∠ CMQ=60° 。∴△ CMQ 是等边三角形。 ∴∠ ACQ=60° 。∴∠ CDB=30° 。

    （ 2）首先由已知得出△ APD ≌△ CPD，从而得出∠ PAD+ ∠PQD= ∠ PQC+∠ PQD=180° ，即可求出。

    （ 3）由（ 2）得出∠ CDB=90° － α，且 PQ=QD ，

    ∴∠ PAD= ∠PCQ= ∠ PQC=2∠ CDB=180° － 2α。

    ∵点 P 不与点 B ， M 重合，∴∠ BAD ＞∠ PAD＞∠ MAD 。

    ∴ 2α＞ 180°－2α＞α，∴ 45°＜ α＜ 60°。

    25．（2017 北京市 8 分）在平面直角坐标系 xoy 中，对于任意两点 P1（ x1,y1）与 P2（ x2,y2）的 “非常距离 ”，给出如下定义：

    若∣ x1－ x2∣ ≥∣ y1－y2∣，则点 P1 与点 P2 的 “非常距离 ”为∣ x1－ x2∣；若
    ∣ x1－ x2∣＜∣ y1 －y2∣，则点 P1 与点 P2 的 “非常距离 ”为∣ y1 － y2∣ .
    例如：点 P1（ 1,2），点 P2（ 3,5），因为∣ 1－3∣＜∣ 2－ 5∣，所以点 P1 与点 P2 的“非常距离 ”为 ∣
    2－ 5∣=3，也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值 （点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与垂直于 x


    轴的直线 P2Q 的交点）。
    （ 1）已知点 A ( ，0 ， B 为 y 轴上的一个动点，
    2
    1
    ①若点 A 与点 B 的 “非常距离 ”为 2，写出一个满足条件的点

    B 的坐标；
    ②直接写出点 A 与点 B 的 “非常距离 ”的最小值；

    （ 2）已知 C 是直线 y

    3 4
    x 3 上的一个动点，
    ①如图 2，点 D 的坐标是（ 0， 1），求点


    C 与点 D 的 “非常距离 ”的最小值及相应的点 C 的坐标；
    C 与点 E 的 “非常距离 ”的最
    ②如图 3，E 是以原点 O 为圆心， 1 为半径的圆上的一个动点，求点
    小值及相应的点 E 和点 C 的坐标。


    【答案】 解：（ 1）①（ 0，－ 2）或（ 0，2）。
    ②
    1 2
    。




    （ 2）①设 C 坐标为




    x0 ， x0

    33 ，如图，过点


    C 作















    4


    CP⊥ x 轴于点 P，作 CQ⊥ y 轴于点 Q。


    由 “非常距离 ”的定义知， 当 OP=DQ 时，点 C 与点









    D 的 “非常距离 ”最小，


    ∴



    x 0 0
    3 4 x 0
    3 1 。




    两边平方并整理，得






    7x 0 2 48x 0 64=0 ，解得， x0



    ∴点 C 与点 D 的 “非常距离 ”的最小值距离为








    87
    8 ，舍去）。 或 x 8 （大于 8 0
    7 7

    ，此时 C

    8 ，15
    。

    7


    7




    ②设直线 y

    3 x 4

    3 与 x 轴和 y 轴交于点 A ，B ，过点 O







    作直线 y

    34

    x 3 的垂线交直线 y




    3 x 4


    3 于点 C，交圆于点 E，过点 C





    作 CP⊥ x 轴于点 P，作 CQ⊥ y 轴于点 Q，过点 E 作 EM ⊥ x 轴于点 M ，作 EN ⊥ y 轴于点 N。

    易得， OA=4 ， OB=3 ，AB=5 。


    由△ OAB ∽△ MEM ， OE=1 ，得 OM= ， ON= 。∴ E
    5 5

    设 C 坐标为 x0
    ，

    343 ，4 。 5 5






    3
    x 0 3




    4
    由 “非常距离 ”的定义知，当 ∴ x 0 + MP=NQ 时，点 C 与点 E 的 “非常距离 ”最小，














    3
    35
    x 0 3 4 。
    4 5


    两边平方并整理，得 解得， x 0

    175x 0 2 840x0 1792=0 ，
    224 （大于 35




    8 或 x 0
    8     ，舍去）。





    5

    5




    ∴点 C 与点 E 的 “非常距离 ”的最小值距离为 1，此时 C


    89
    ， ，E
    5 5
    3，4 。
    5 5
    【考点】 新定义，直线上点的坐标与方程的关系，直线和圆的性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三 角形的和性质。
















    【分析】 （ 1）根据 “非常距离 ”的定义可直接求出。
    （2）①解题关键是，过
    C 点向 x、 y 轴作垂线，当 CP 和 CQ 长度相等的时候 “非常距离 ”最短，

    理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动 C 点到达 C’点，其与点 D 的 “非常距离 ”都会增大。





    故而 C、D 为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。



    ②同①，同时理解当 OC 垂直于直线 y
    3 x 3 时，点 C 与点 E 的“非常距离 ”最小。

    4



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