2017年江苏省盐城市中考数学试卷

一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．

2．（3分）如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ）

A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱锥

3．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）数据6，5，7.5，8.6，7，6的众数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．（3分）下列运算中，正确的是（ ）

A．7a+a=7a2 B．a2•a3=a6 C．a3÷a=a2 D．（ab）2=ab2

6．（3分）如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）

7．（3分）请写出一个无理数 ．

8．（3分）分解因式a2b﹣a的结果为 ．

9．（3分）2016年12月30日，盐城市区内环高架快速路网二期工程全程全线通车，至此，已通车的内环高架快速路里程达57000米，用科学记数法表示数57000为 ．

10．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．

11．（3分）如图，是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是 ．

12．（3分）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．

13．（3分）若方程x2﹣4x+1=0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为 ．

14．（3分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，则∠ADB= °．

15．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置，则点B运动的最短路径长为 ．

16．（3分）如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 ．

三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（6分）计算：+（）﹣1﹣20170．

18．（6分）解不等式组：．

19．（8分）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=3+．

20．（8分）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．

（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ；

（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．

21．（8分）“大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）求被调查的学生总人数；

（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数；

（3）若该校共有800名学生，请估计“最想去景点B“的学生人数．

22．（10分）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．

23．（10分）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

24．（10分）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．

（1）求证：BC是⊙F的切线；

（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；

（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

26．（12分）【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．

【拓展应用】

如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

27．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；

②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

2017年江苏省盐城市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）（2017•随州）﹣2的绝对值是（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．

【考点】15：绝对值．菁优网版权所有

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．

【解答】解：﹣2的绝对值是2，

即|﹣2|=2．

故选：A．

【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（3分）（2017•盐城）如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ）

A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱锥

【考点】U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有

【分析】根据三视图即可判断该几何体．

【解答】解：由于主视图与左视图是三角形，

俯视图是圆，故该几何体是圆锥，

故选（C）

【点评】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握几种常见几何体的三视图，本题属于基础题型．

3．（3分）（2017•盐城）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】P3：轴对称图形．菁优网版权所有

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：D的图形沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合，

故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形，掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

4．（3分）（2017•盐城）数据6，5，7.5，8.6，7，6的众数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【考点】W5：众数．菁优网版权所有

【分析】直接利用众数的定义分析得出答案．

【解答】解：∵数据6，5，7.5，8.6，7，6中，6出现次数最多，

故6是这组数据的众数．

故选：B．

【点评】此题主要考查了众数的定义，正确把握定义是解题关键．

5．（3分）（2017•盐城）下列运算中，正确的是（ ）

A．7a+a=7a2 B．a2•a3=a6 C．a3÷a=a2 D．（ab）2=ab2

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．菁优网版权所有

【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、除法法则、积的乘方法则一一计算即可判断．

【解答】解：

A、错误、7a+a=8a．

B、错误．a2•a3=a5．

C、正确．a3÷a=a2．

D、错误．（ab）2=a2b2

故选C．

【点评】本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法、除法法则、积的乘方法则，熟练掌握这些法则是解题的关键．

6．（3分）（2017•盐城）如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）

A． B． C． D．

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有

【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．

【解答】

解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），

∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，

∴A（1，1），B（4，3），

过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），

∴AC=4﹣1=3，

∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），

∴AC•AA′=3AA′=9，

∴AA′=3，

即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，

∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4．

故选D．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．

二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）

7．（3分）（2017•盐城）请写出一个无理数 ．

【考点】26：无理数．菁优网版权所有

【分析】根据无理数定义，随便找出一个无理数即可．

【解答】解：是无理数．

故答案为：．

【点评】本题考查了无理数，牢记无理数的定义是解题的关键．

8．（3分）（2017•盐城）分解因式a2b﹣a的结果为 a（ab﹣1） ．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有

【分析】根据提公因式法分解即可．

【解答】解：a2b﹣a=a（ab﹣1），

故答案为：a（ab﹣1）．

【点评】本题考查了分解因式，能正确分解因式是解此题的关键．

9．（3分）（2017•盐城）2016年12月30日，盐城市区内环高架快速路网二期工程全程全线通车，至此，已通车的内环高架快速路里程达57000米，用科学记数法表示数57000为 5.7×104 ．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将57000用科学记数法表示为：5.7×104．

故答案为：5.7×104．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

10．（3分）（2017•盐城）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．

【考点】72：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有

【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．

【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，

解得x≥3．

故答案为：x≥3．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

11．（3分）（2017•盐城）如图，是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是 ．

【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有

【分析】共有3种情况，上方的正六边形涂红色的情况只有1种，利用概率公式可得答案．

【解答】解：上方的正六边形涂红色的概率是，

故答案为：．

【点评】此题主要考查了概率，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．

12．（3分）（2017•盐城）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．

【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理．菁优网版权所有

【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．

【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°，

故答案为：120．

【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

13．（3分）（2017•盐城）若方程x2﹣4x+1=0的两根是x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为 5 ．

【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题．

【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=1，然后把x1（1+x2）+x2展开得到x1+x2+x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可．

【解答】解：根据题意得x1+x2=4，x1x2=1，

所以x1（1+x2）+x2=x1+x1x2+x2

=x1+x2+x1x2

=4+1

=5．

故答案为5．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

14．（3分）（2017•盐城）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，则∠ADB= 110 °．

【考点】M5：圆周角定理．菁优网版权所有

【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，

∴∠ADB+∠ACB=180°，

∴∠ADB=110°，

故答案为：110．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

15．（3分）（2017•盐城）如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置，则点B运动的最短路径长为 π ．

【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质．菁优网版权所有

【分析】如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B运动的路径长最短

【解答】解：如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P，点P即为旋转中心，

观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B运动的路径长最短，PB==，

∴B运动的最短路径长为==π，

故答案为π．

【点评】本题考查旋转变换、轨迹．弧长公式、勾股定理等知识，解题的关键是确定旋转中心和旋转角的大小，属于中考常考题型．

16．（3分）（2017•盐城）如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 8 ．

【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有

【分析】由题意A（﹣4，4），B（2，2），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM﹣S△OBN计算即可．

【解答】解：∵A（﹣4，4），B（2，2），

∴OA⊥OB，

建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴．

在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），

∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8，

由，解得或，

∴M（1.6），N（3，2），

∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN=•4•6﹣•4•2=8，

故答案为8

【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（6分）（2017•盐城）计算：+（）﹣1﹣20170．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有

【分析】首先计算开方，乘方、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：原式=2+2﹣1=3．

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

18．（6分）（2017•盐城）解不等式组：．

【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式3x﹣1≥x+1，得：x≥1，

解不等式x+4＜4x﹣2，得：x＞2，

∴不等式组的解集为x＞2．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19．（8分）（2017•盐城）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x=3+．

【考点】6D：分式的化简求值．菁优网版权所有

【专题】11 ：计算题；513：分式．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=÷（﹣）

=÷

=•

=，

当x=3+时，原式===．

【点评】本题主要考查分式的化简求值，根据分式的混合运算顺序和法则将原式化简是解题的关键．

20．（8分）（2017•盐城）为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．

（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ；

（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．菁优网版权所有

【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；

（2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率．

【解答】解：

（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，

∴若随机选择其中一个正确的概率=，

故答案为：；

（2）画树形图得：

由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，

所以小丽回答正确的概率=．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求事件A或B的概率．

21．（8分）（2017•盐城）“大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）求被调查的学生总人数；

（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数；

（3）若该校共有800名学生，请估计“最想去景点B“的学生人数．

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．菁优网版权所有

【专题】31 ：数形结合．

【分析】（1）用最想去A景点的人数除以它所占的百分比即可得到被调查的学生总人数；

（2）先计算出最想去D景点的人数，再补全条形统计图，然后用360°乘以最想去D景点的人数所占的百分比即可得到扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数；

（3）用800乘以样本中最想去A景点的人数所占的百分比即可．

【解答】解：（1）被调查的学生总人数为8÷20%=40（人）；

（2）最想去D景点的人数为40﹣8﹣14﹣4﹣6=8（人），

补全条形统计图为：

扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数为×360°=72°；

（3）800×=280，

所以估计“最想去景点B“的学生人数为280人．

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．

22．（10分）（2017•盐城）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．

【考点】LB：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L9：菱形的判定．菁优网版权所有

【分析】（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证；

（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC、AD∥BC，

∴∠ABD=∠CDB，

∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，

∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，

∴∠EBD=∠FDB，

∴BE∥DF，

又∵AD∥BC，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，

∵BE平分∠ABD，

∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，

∴∠EDB=∠EBD=30°，

∴EB=ED，

又∵四边形BEDF是平行四边形，

∴四边形BEDF是菱形．

【点评】本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键．

23．（10分）（2017•盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．菁优网版权所有

【分析】（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，

根据题意得：=，

解得：x=35，

经检验，x=35是原方程的解．

答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．

（2）设年增长率为m，

2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．

根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，

解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：年增长率为20%．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找准等量关系，列出一元二次方程．

24．（10分）（2017•盐城）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．

【考点】O4：轨迹；MC：切线的性质；N3：作图—复杂作图．菁优网版权所有

【分析】（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；

（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．

【解答】解：（1）如图①所示，射线OC即为所求；

（2）如图，圆心O的运动路径长为，

过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，

过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B，

过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，

∴AC===9，AB=2BC=18，∠ABC=60°，

∴C△ABC=9+9+18=27+9，

∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，

∴D、G为切点，

∴BD=BG，

在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，

∵，

∴△O1BD≌△O1BG（HL），

∴∠O1BG=∠O1BD=30°，

在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，

∴BD===2，

∴OO1=9﹣2﹣2=7﹣2，

∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，

∴O1D∥OE，且O1D=OE，

∴四边形OEDO1为平行四边形，

∵∠OED=90°，

∴四边形OEDO1为矩形，

同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，

又OE=OF，

∴四边形OECF为正方形，

∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，

∴∠GO1D=120°，

又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，

∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，

同理，∠O1OO2=90°，

∴△OO1O2∽△CBA，

∴=，即=，

∴=15+，即圆心O运动的路径长为15+．

【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图、切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．

25．（10分）（2017•盐城）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．

（1）求证：BC是⊙F的切线；

（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；

（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

【考点】MR：圆的综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；

（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；

（3）作FR⊥AD于R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可．

【解答】（1）证明：连接EF，

∵AE平分∠BAC，

∴∠FAE=∠CAE，

∵FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

∴∠FEA=∠EAC，

∴FE∥AC，

∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；

（2）解：连接FD，

设⊙F的半径为r，

则r2=（r﹣1）2+22，

解得，r=，即⊙F的半径为；

（3）解：AG=AD+2CD．

证明：作FR⊥AD于R，

则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，

∴四边形RCEF是矩形，

∴EF=RC=RD+CD，

∵FR⊥AD，

∴AR=RD，

∴EF=RD+CD=AD+CD，

∴AG=2FE=AD+2CD．

【点评】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握切线的判定定理是解题的关键．

26．（12分）（2017•盐城）【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．

【拓展应用】

如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．

【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有

【分析】【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由=可得；

【拓展应用】：由△APN∽△ABC知=，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═﹣（x﹣）2+，据此可得；

【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；

【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．

【解答】解：【探索发现】

∵EF、ED为△ABC中位线，

∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，

又∠B=90°，

∴四边形FEDB是矩形，

则===，

故答案为：；

【拓展应用】

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴=，即=，

∴PN=a﹣PQ，

设PQ=x，

则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+，

∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为，

故答案为：；

【灵活应用】

如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，

由题意知四边形ABCH是矩形，

∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，

∴EH=20、DH=16，

∴AE=EH、CD=DH，

在△AEF和△HED中，

∵，

∴△AEF≌△HED（ASA），

∴AF=DH=16，

同理△CDG≌△HDE，

∴CG=HE=20，

∴BI==24，

∵BI=24＜32，

∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，

过点K作KL⊥BC于点L，

由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，

答：该矩形的面积为720；

【实际应用】

如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，

∵tanB=tanC=，

∴∠B=∠C，

∴EB=EC，

∵BC=108cm，且EH⊥BC，

∴BH=CH=BC=54cm，

∵tanB==，

∴EH=BH=×54=72cm，

在Rt△BHE中，BE==90cm，

∵AB=50cm，

∴AE=40cm，

∴BE的中点Q在线段AB上，

∵CD=60cm，

∴ED=30cm，

∴CE的中点P在线段CD上，

∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，

由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2，

答：该矩形的面积为1944cm2．

【点评】本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键．

27．（14分）（2017•盐城）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；

①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；

②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有

【分析】（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c，于是得到结论；

（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；

②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（﹣，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，

∴，

∴，

∴y=﹣x2﹣x+2；

（2）①如图，令y=0，

∴﹣x2﹣x+2=0，

∴x1=﹣4，x2=1，

∴B（1，0），

过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，

∴DM∥BN，

∴△DME∽△BNE，

∴==，

设D（a，=﹣a2﹣a+2），

∴M（a，a+2），

∵B（1.0），

∴N（1，），

∴==（a+2）2+；

∴当a=2时，的最大值是；

②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），

∴AC=2，BC=，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，

∴P（﹣，0），

∴PA=PC=PB=，

∴∠CPO=2∠BAC，

∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，

过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，

情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，

∴∠CDG=∠BAC，

∴tan∠CDG=tan∠BAC=，

即，

令D（a，﹣a2﹣a+2），

∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，

∴，

∴a1=0（舍去），a2=﹣2，

∴xD=﹣2，

情况二，∴∠FDC=2∠BAC，

∴tan∠FDC=，

设FC=4k，

∴DF=3k，DC=5k，

∵tan∠DGC==，

∴FG=6k，

∴CG=2k，DG=3k，∴

∴RC=k，RG=k，

DR=3k﹣k=k，

∴==，

∴a1=0（舍去），a2=，

点D的横坐标为﹣2或﹣．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．