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    2020年湖北省随州市中考数学试卷及答案解析(word版)-

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    随州市2020年初中毕业升学考试数学试题
    一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
    1.2020的倒数是（ ） A. 2020
    B. 2020
    C.     1 2020    D.     1
    2020【答案】C 【解析】 【分析】
    根据倒数的定义解答. 【详解】2020的倒数是故选：C.
    【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键.
    2.如图，直线l1//l2，直线l与l1，l2分别交于A，B两点，若160，则2的度数是（ ）
    1，
    2020
    A. 60 【答案】C 【解析】 【分析】
    B. 100 C. 120 D. 140
    如图：先运用两直线平行、同位角相等得到∠3=∠1=60°，然后再根据邻补角的性质得到∠3+∠2=180°，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵l1//l2，∠1=60°

    ∴∠3=∠1=60° ∵∠3+∠2=180°
    ∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°． 故答案为C．

    【点睛】本题考查了平行性质和邻补角的性质，掌握平行线的性质（两直线平行、同位角相等）是正确解答本题的关键．
    3.随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：∠），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 30，32 【答案】D 【解析】 【分析】
    B. 31，30
    根据众数和中位数的求解答案来判断即可．
    【详解】解：∵7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，30，32，34（单位：∠） ∴这组数据的众数是：30 中位数：30 故选：D
    【点睛】本题考查了众数和中位数，注意有偶数个数时中位数就是中间两个数的平均数，而个数有奇数个时，中位数就是中间的一个数．
    的C. 30，31
    D. 30，30
    4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）


    A. 圆柱 【答案】A 【解析】 【分析】
    B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 四棱锥
    主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱． 故选：A．
    【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
    21的计算结果为（ ） x24x22xx2xA. B.
    x2x25.C. 2x x2D. 2
    x(x2【答案】B 【解析】 分析】
    先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果． 【详解】21 x24x22x=21
    (x2(x2x(x2=2x2x22x． x2·xx2
    =故选：B．

    【点睛】本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键．
    6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
    xy35A.
    2x4y94xy35B.
    4x2y942xy35C.
    x4y94D. x4y35
    2xy94【答案】A 【解析】 【分析】
    根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有x只，兔有y只 根据上有三十五头，可得x+y=35； 下有九十四足，2x+4y=94 即xy35．
    2x4y94故答案为A．
    【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键．
    7.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出发时间（t）之间的对应关系的是（ ）
    A. B. C. D.

    【答案】B 【解析】 【分析】
    根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果． 【详解】解：小明从家出发步行至学校，可以看作是一条缓慢上升的直线； 中间停留一段时间，可以看作与水平方向平行的直线； 从学校乘车返回家，可以看作是一条迅速下降的直线； 结合四个选项，B符合题意； 故选：B．
    【点睛】本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键．
    8.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）
    ．．．
    A. hRr B. R2r C. r3a 4D. R3a
    3【答案】C 【解析】 【分析】
    将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．

    【详解】
    如图所示,标上各点∠AO为R∠OB为r∠AB为h， 从图象可以得出AB=AO+OB∠即hRr∠A正确∠ ∵三角形为等边三角形∠ ∴∠CAO=30°∠
    根据垂径定理可知∠ACO=90°∠ ∴AO=2OC∠即R=2r∠B正确∠
    1在Rt△ACO中，利用勾股定理可得∠AO2=AC2+OC2∠即R2ar2∠ 2由B中关系可得∠2r22331ar2，解得ra∠ a∠则R3622所以C错误，D正确； 故选：C．
    【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合,关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形． 9.将关于x的一元二次方程x2pxq0变形为x2pxq，就可以将x2表示为关于x32的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如xxxx(pxq…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2x10，且x0，则x42x33x的值为（ ）
    A. 15 【答案】C 【解析】
    B. 35
    C. 15
    D. 35

    【分析】
    先求得x2=x+1，代入x42x33x即可得出答案． 【详解】∵x2x10， ∴x=x+1，x2112411215，
    2∴x42x33x =x+1-2xx+1+3x =x2+2x+1-2x2-2x+3x =-x2+3x+1
    21+3x+1 =-x+=2x， ∵x15，且x0，
    2∴x1+5，
    21+5=1+5，
    2∴原式=2故选：C．
    【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．
    10.如图所示，已知二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A(1,0，B(3,0两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2ab0；②2c3b；③当ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当BCD是直角三角形时，a正确的有（ ）
    2．其中2

    A. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】
    B. 2个 C. 3个 D. 4个
    根据二次函数对称轴的位置可判断；②把两个点代入解析式可得到方程组，解出B与C的关系即可；③由图象可知，BCAC，从而得以判断；④根据直角三角形的
    2【详解】∠二次函数yaxbxc的图象与x轴交于A(1,0，B(3,0两点，
    ∴二次函数的对称轴为x131， 2即-b1， 2a∴2ab0． 故①正确；
    ∵二次函数yaxbxc的图象与x轴交于A(1,0，B(3,0两点，
    2∴abc0，9a3bc0， 又∠b2a， ∠3b∠3b∠2c6a，a2ac0，
    6a，9a6ac0， 6a，
    ∠2c3b， 故②错误；
    由图象可知，当ABC是等腰三角形时，
    BCAC，只能是ABAC或ABBC，故a有两个值，
    故③正确；
    ∵BCD是直角三角形，

    ∴分两种情况BDCD或DCBC， 得到的a有两个值， 故④错误； 故答案选B．
    【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，准确分析判断是解题的关键．
    二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
    11.计算：(129_____． 【答案】4 【解析】 【分析】
    分别进行乘方运算和开根号，相加即可． 【详解】原式=1+3=4． 故答案为4．
    【点睛】本题主要考查了实数运算，准确进行幂的运算是解题的关键． 12.如图，点A，B，C在CAD的度数为_____．
    O上，AD是BAC的角平分线，若BOC120，则
    【答案】30° 【解析】 【分析】
    根据圆周角定理求出BAC，再由角平分线的性质可得到结果； 【详解】∠BOC120， ∠BAC=60，
    又∠AD是BAC的角平分线，
    的
    ∴BADCAD故答案为30．
    1BAC30，
    2【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，准确运用角平分线的性质是解题的必要步骤．
    13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则m的值为______．

    【答案】9 【解析】 【分析】
    本题首先根据每一横行数字之和为15求出第一个方格数字，继而根据对角线斜边数字和为15求出最后一格数字，最后根据每一竖行数字之和为15求出m． 【详解】设第一方格数字为x，最后一格数字为y，如下图所示： 由已知得：x+7+2=15，故x=6； 因为x+5+y=15，将x=6代入求得y=4；
    又因2+m+y=15，将y=4代入求得m=9；
    故答案为：9．

    【点睛】本题考查新题型，本质是一元一次方程的求解，理清题意，按照图示所给信息逐步列方程求解即可．
    14.如图，ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的
    概率为____．

    【答案】1
    16【解析】 【分析】
    根据三角形的中位线定理建立面积之间的关系,按规律求解，再根据概率公式进行求解即可． 【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形并且这两个三角形相似,
    各边长都等于最大三角形各边的一半,    1△ABC的面积 411那么第三个△MPN的面积=△DEF的面积=△ABC的面积
    416那么第二个△DEF的面积=∴若随机向ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为: 故答案为：1
    16【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，概率公式,解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第三个三角形的面积与第一个三角形的面积的关系，以及概率公式． 15.如图，直线AB与双曲线yk(k0在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点xC，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为____．

    的1 16【答案】2 【解析】 【分析】 设A点坐标为a,kabk(b,0,，根据B点在CB，点坐标为，求出点坐标为22aa
    ykabk1k(k0上可得k，整理得b3a，再根据三角形面积公式得3a3x22a2a可得k的值．
    【详解】解：设A点坐标为a,k，C点坐标为(b,0， aB恰为AC的中点， abk,， B点的坐标为22aB点在yk(k0的图象上，
    xabkk 22ab3a
    S    OAC3
    1kb3 2a1k3a3 2ak2
    故答案为：2．
    【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式． 16.如图，已知矩形ABCD中，AB3，BC4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MHBC于点H，连接BF，给出下列判断：①15；③当四边形CDMH4155为正方形时，N为HC的中点；④若DFDC，则折叠后重叠部分的面积为．其312MHN∽BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3MN中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）.


    【答案】①②③④ 【解析】 【分析】
    由题意，逐一判定，∠由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定；②根据题意点F在线段CD上（不与两端点重合），假设F分别在C、D两点，即可得出其取值范围；③由相似三角形、正方形的性质以及勾股定理构建方程，即可判定；④由相似三角形以及勾股定理，得出梯形MEFN的面积和△MEO的面积，即可得解；
    【详解】
    由折叠性质，得，BG=FG，BN=FN ∴BF⊥MN
    ∵∠BIH=∠MIG，MHBC ∴∠HBI=∠GMI ∵∠MHN=∠BCF=90° ∴MHN∽BCF 故∠结论正确；
    假设F与C重合时，MN取得最小值，即为3； 假设F与D重合时，MN取得最大值， ∵MHN∽BCF ∴MHBC MNBF∵MH=3，BC=4，BF∴MNBC2CF242325
    15
    415
    4∵点F在线段CD上（不与两端点重合） ∴折痕MN的长度的取值范围为3MN故∠结论正确；
    ∵四边形CDMH为正方形

    ∴MH=HC=3 ∴BH=1
    ∵MHN∽BCF ∴MHBC HNCF令HNx，则CN3x，FNBN1x ∴CFFN2NC241x3x222
    3∴x∴x11x3x2
    3，x23（不符合题意，舍去） 21∴HNHC，即N为HC的中点
    2故③结论正确； ④∵DF1DC，AB=CD=3
    3∴DF=1，CF=2 ∴BFBC2CF2422225
    ∴BG=GF=5 ∵MHN∽BCF
    MHBC HNCF3∴HN=
    2    ∴∵∠FGN∠∠MHN ∴GN=5 22522∴FNNGNF2222525 235∴CNFNCF22 22∴BH=BC-HN-NC=4-33-=1 22∵∠EMO=∠CNF，∠MEO=∠NCF=90°

    ∴△MEO∽△NCF
    MENC EOCF4∴EO=
    3    ∴∴折叠后重叠部分的面积为：
    S梯形MEFNS△MEO故④结论正确；
    11151455MEFNEFMEEO131 22222312故答案为：①②③④.
    【点睛】此题主要考查矩形的折叠性质以及相似三角形的综合运用，熟练掌握，即可解题.
    三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
    17.先化简，再求值：a(a2b2b(ab，其中a【答案】a22b2，1． 【解析】 【分析】
    先根据整式的乘法法则化简整式，再将字母的值代入结果计算求值即可． 【详解】a(a2b2b(ab
    5，b3．
    a22ab2ab2b2
    a22b2
    当a5,b3时，
    原式(522(32561．
    【点睛】本题主要考查了整式的混合运算----化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
    18.已知关于x的一元二次方程x2(2m1xm20． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1x23x1x21，求m的值．

    【答案】（1）见解析；（2）m8． 【解析】 【分析】
    （1）求出△的值即可证明；
    x1x2(2m1（2），根据根与系数的关系得到，代入x1x23x1x21，得到关于x1x2m2m的方程，然后解方程即可．
    【详解】（1）证明：依题意可得(2m14(m2

    24m290
    故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：
    x1x2(2m1
    xxm212由x1x23x1x21，得(2m13(m21，解得m8．
    【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−bc，x1x2=． aa19.根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
    年龄x（岁）
    人数 4
    男性占比 50% 60% 60% 75%
    x20 20x30 30x40
    m
    25 8
    40x50

    x50


    3 100%
    （1）统计表中m的值为_______；
    （2）若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30x40”部分所对应扇形的圆心角的度数为_______； （3）在这50人中女性有______人；
    （4）若从年龄在“x20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男性的概率．
    【答案】（1）10；（2）180；（3）18；（4）P（恰好抽到2名男性）【解析】 【分析】
    （1）用50-4-25-8-3可求出m的值；
    （2）用360°乘以年龄在“30x40”部分人数所占百分比即可得到结论； （3）分别求出每个年龄段女性人数，然后再相加即可；
    （4）年龄在“x20”的4人中，男性有2人，女性有2人，分别用A1，A2表示男性，用B1，B2表示女性，然后画出树状图表示出所有等可能结果数，以及关注的事件数，然后利用概率公式进行求解即可.
    【详解】解：（1）m=50-4-25-8-3=10； 故答案为：10； （2）360°×25=180；
    501．
    6故答案为：180；
    （3）在这50人中女性人数为：
    4×（1-50%）+10×（1-60%）+25×（1-60%）+8×（1-75%）+3×（1-100%） =2+4+10+2+0 =18；
    故答案为：18；

    （4）设两名男性用A1,A2表示，两名女性用B1,B2表示，根据题意： 可画出树状图：

    或列表： 第2人 第1人
    A1
    A2
    B1 B2
    A1
    A2

    A1A2
    A2A1

    A1B1 A1B2 A2B2
    A2B1
    B1 B2


    B1A1 B1A2 B1B2
    B2A1 B2A2 B2B1

    由上图（或上表）可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种， 故P（恰好抽到2名男性）21． 126【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及频数分布表．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
    20.如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60，从点C走到点D，测得CD5米，从点D测得天线底端B的仰角为45，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB25米．


    （1）求A与C之间的距离；
    （2）求天线BE的高度．（参考数据：31.73，结果保留整数） 【答案】（1）A,C之间的距离为30米；（2）天线BE的高度约为27米． 【解析】 【分析】
    （1）根据题意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不难算出A与C之间的距离．
    （2）根据题意，在Rt△ACE中，ACE60，利用三角函数可算出AE的长，又已知AB，故EB即可求解．
    【详解】（1）依题意可得，在Rt△ABD中，ADB45 ，
    ADAB25米，

    CD5米，ACADCD25530米.
    即A,C之间的距离为30米．
    （2）在Rt△ACE中，ACE60，AC30米， ， AE30tan60303（米）AB25米，BEAEAB(30325米．
    由31．73．并精确到整数可得BE27米． 即天线BE的高度约为27米．


    【点睛】（1）本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
    （2）本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键． 21.如图，在RtABC中，ACB90，以斜边AB上的中线CD为直径作交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MNAB，垂足为N．
    O，与BC
    （1）求证：MN是（2）若O的切线；
    3O的直径为5，sinB，求ED的长．
    57．
    5【答案】（1）见解析；（2）ED【解析】 【分析】
    （1）欲证明MN为⊙O的切线，只要证明OM⊥MN． （2）连接DM,CE，分别求出BD=5，BE=【详解】（1）证明：连接OM，
    32，根据EDBEBD求解即可．
    5

    OCOM， OCMOMC．
    在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，
    CD1ABBD，
    2DCBDBC， OMCDBC， OM//BD，

    MNBD，MNOM，
    MN是O的切线．

    （2）连接DM,CE，易知DMBC,CEAB， 由（1）可知BDCD5，故M为BC的中点，
    sinB3， 54，
    5cosB在Rt△BMD中，BMBDcosB4，
    BC2BM8．
    在RtCEB中，BEBCcosB32，
    5EDBEBD3275． 55【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
    22.2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：
    第x天
    销售价格p（元/只）
    1 2
    2 3
    3 4
    4 5
    5 6

    销量q（只）


    70 75 80 85 90
    物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q（只）与第x天的关系为q2x80x200（6x30，且x为整数），已知该型号2口罩的进货价格为0.5元/只．
    （1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式； ．．．．（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
    （3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为______．
    【答案】（1）px1，1（2）≤x≤5且x为整数，q5x65，1≤x≤5且x为整数；6521355xx,1x5且x为整数8W，第5天时利润最大；（3）m． 2252x40x100,6x30且x为整数【解析】 【分析】
    （1）根据表格数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求出解析式即可； （2）根据题意，求出利润w与x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值．
    （3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数， 设p=k1x+b1，
    将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：2k1b1，
    32kb11k11解得：，
    b11
    所以px1， 经验证p=x+1符合题意，
    所以px1，1≤x≤5且x为整数； 设q=k2x+b2，
    70k2b2将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：，
    752kb22解得：k25，
    b652所以q5x65，
    经验证q5x65符合题意，
    所以q5x65，1≤x≤5且x为整数； （2）当1≤x≤5且x为整数时，
    W(x10.5(5x65
    5x213565x； 22当6x30且x为整数时，
    W(10.52x280x200x240x100；
    652135x,1x5且x为整数5x即有W； 222x40x100,6x30且x为整数当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大， 故当x5时，W最大495（元）
    当6x30且x为整数时，Wx40x100(x20300 故当x； 20时，W最大300（元）22由495300，可知第5天时利润最大． （3）根据题意，

    前5天的销售数量为：q7075808590400（只）， ∠前5天多赚的利润为：
    W(270375480585690140016504001250（元），
    ∠1250m2000， ∠m8； 58．
    5∠m的取值范围为m【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）①请叙述勾股定理；
    ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）


    （2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1S2S3的有_______个；



    ②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；

    （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知123，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示） ①a2b2c2d2_______；
    ②b与c的关系为_______，a与d的关系为_______．


    【答案】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2b2c2，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析；（2）①3，
    ②结论S1S2S3；（3）①m2，②bc， adm． 【解析】 【分析】
    （1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可； ②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
    （2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即可得到答案；
    ②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案； （3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，a2b2c2d2m2； ②由123，则sin1sin2sin3sin，同理可得cos1cos2cos3cos，利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案．
    【详解】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2b2c2．

    （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即c21ab4(ba2，
    2化简得a2b2c2．
    在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即(abc221ab4，化简得a2b2c2．
    2在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即111(ab(abab2c2，化简a2b2c2． 222（2）①根据题意，则如下图所示：


    在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则 由勾股定理，得a2b2c2， ∴S1S2S3；
    在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则
    1a11b11c1S1•(2a2，S2•(2b2，S3•(2c2，
    228228228122∴S1S2(ab，
    8∵a2b2c2， ∴(ab182212c，
    8∴S1S2S3；
    在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则
    S11232132132asin60a，S2b2sin60b，S3c2sin60c， 24242432(ab2，a2b2c2， 4∵S1S2∴3232(ab2c， 44∴S1S2S3；
    ∴满足S1S2S3的有3个， 故答案为：3； ②结论S1S2S3；

    1a1b1cS1S2S3
    2222222221S1S2a2b2c2S3
    8a2b2c2，
    S1S2S3；
    （3）∠如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有

    由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E，C+D=F，E+F=M， ∴a2b2e2，cdf，efm， ∴a2b2c2d2m2 故答案为：m2；
    ∠∵123，
    ∴sin1sin2sin3sin，cos1cos2cos3cos， 由解直角三角形和正方形的性质，则
    2    2    2    2    2    2em•cos，be•sin，
    ∴bm•cos•sin； 同理：cm•sin•cos；
    am•cos•cos；
    dm•sin•sin；
    ∴bc，

    ∴adm•(cossin， ∵cos2sin21， ∴adm．
    故答案为：bc；adm．
    【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题．
    24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx1的对称轴为直线x223，其图象与2x轴交于点A和点B(4,0，与y轴交于点C．


    （1）直接写出抛物线的解析式和CAO的度数；
    （2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒2个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t(t0秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
    （3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出．．．．一组正确的结果得1分，至多得4分） 【答案】（1）y31233xx1，CAO45；（2）t=，D点坐标为2,； （3）4442；349P5,,Q0,126353P25,,Q20,222；317P31,,Q30,26；

    257115133725912591P41,,Q40,；P5,,Q50,； P6,,Q60,；91899922233251413959373719719P7,,Q70,；P,,Q0, P8,,Q80, 99；399939181112124216874139P,,Q0,101036311121；25171617P,,Q11110,11121242；
    251711613P,,Q12120,．
    11121363【解析】 【分析】
    （1）根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式；
    （2）过点N作NEAB于E，过点D作DFAB于F，证明△NEM≌△MFD，得到NEMF,EMDF，从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可； （3）设点P（m，123mm1），当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作44PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S，根据△CPQ∽△MDB，得到CPPR，MDDS从而求出m值，再证明△CPQ∽△MDB，求出CQ长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.
    2【详解】解：（1）∵抛物线yaxbx1的对称轴为直线x3， 2∴b3，则b=-3a， 2a2∵抛物线经过点B（4，0）， ∴16a+4b+1=0，将b=-3a代入， 解得：a=31，b=， 44123xx1， 44抛物线的解析式为：y令y=0，解得：x=4或-1， 令x=0，则y=1，
    ∴A（-1，0），C（0，1），

    ∴tan∠CAO=CO1,
    AO∴CAO45；
    （2）由（1）易知A1,0，
    过点N作NEAB于E，过点D作DFAB于F， ∵∠DMN=90°，
    ∴∠NME+∠DMF=90°，又∠NME+∠ENM=90°， ∴∠DMF=∠ENM，

    NMDM，DMN90 ， NEM≌MFD（AAS），
    NEMF,EMDF，
    由题意得：CAO45，AN2t，AM3t，
    AECEt,EMAMAE2t， DF2t,MFt,OF4t1，
    D4t1,2t ，
    13(4t12(4t112t，又t0，
    44故可解得：t=    3或0（舍），
    4    3时，点M,N均未到达终点，符合题意，
    432经检验，当t=此时D点坐标为2,；


    （3）由（2）可知：D2,，t=设点P（m，3235时，M（，0），B（4，0），C（0，1），
    44123mm1）， 44如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴， 过点P作PR⊥y轴于点R，过点D作DS⊥x轴于点S， 则PR=m，DS=3，
    2若△CPQ∽△MDB，
    CPPRCP2PR2∴，则， 22MDDSMDDS31mm2mm244，解得：m=0（舍）或1或5（舍），
    459164223故点P的坐标为：1,，

    2∵△CPQ∽△MDB， ∴CPCQPR， MDMBDSCQ4111111733，解得：CQ=，1， 当点P1,时，1126662∴点Q坐标为（0，17），
    6317P1,,Q0,； 26
    同理可得：点P和点Q的坐标为：

    349353P15,,Q0,；P25,,Q20,；
    26222317337P31,,Q30,；P41,,Q40,； 26222257115125912591P5,,Q50,P,,Q0,；66；9189993325159719719P7,,Q70,；P8,,Q80,99991833168737341394139P,,Q0,P9,,Q0,；1010；9363242111211112125171617251711613P,,Q0,P,,Q；111211120,. 1112124211121363【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图像和性质，二次函数表达式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，难度较大，计算量较大，解题时注意结合函数图像，找出符合条件的情形.


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