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    最新丹东中考数学试题及答案-

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    2016年辽宁省丹东市中考数学试卷


    一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分） 1．﹣3的倒数是（ ） A．3B． C．﹣D．﹣3 2．2016年1月19日，国家统计局公布了2015年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产总值为676000亿元．676000用科学记数法表示为（ ） A．6.76×106B．6.76×105C．67.6×105D．0.676×106 3．如图所示几何体的左视图为（ ）

    A． B． C． D．
    4．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是（ ） A．8，6B．7，6C．7，8D．8，7 5．下列计算结果正确的是（ ） A．a8÷a4=a2B．a2•a3=a6C．（a3）2=a6D．（﹣2a2）3=8a6 6．二元一次方程组的解为（ ）
    A． B． C． D．
    7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（ ）

    A．8B．10C．12D．14 8．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（ ）
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    A．1个B．2 个C．3 个D．4个

    二、填空题（每小题3分，共24分） 9．分解因式：xy2﹣x= ． 10．不等式组的解集为 ．
    11．一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ． 12．反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k= ．
    13．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 ． 14．观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是 ． 15．AE平分∠CAD，FA⊥AE，如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，交BC的延长线于点E，交CB延长线于点F，则EF的长为 ．

    16．A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，如图，在平面直角坐标系中，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为 ．



    三、解答题（每小题8分，共16分）
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    |﹣（）﹣1+（π﹣2016）0．
    17．计算：4sin60°+|3﹣18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
    （1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
    （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．

    四、（每小题10分，共20分）
    19．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
    （1）此次共调查了多少人？
    （2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数； （3）请将条形统计图补充完整；
    （4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？
    20．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
    （1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； （2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 精品文档

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    五、（每小题10分，共20分）
    21．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？
    22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：∠BDC=∠A；
    （2）若CE=4，DE=2，求AD的长．

    六、（每小题10分，共20分）
    23．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米） （参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）

    24．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式；
    （2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？

    七、（本题12分） 精品文档

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    25．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD． （1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
    （3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

    八、（本题14分）
    26．如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

    （1）求抛物线的表达式；
    （2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
    （3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

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    2016年辽宁省丹东市中考数学试卷
    参考答案与试题解析


    一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分） 1．﹣3的倒数是（ ） A．3B． C．﹣D．﹣3 【考点】倒数．
    【分析】利用倒数的定义，直接得出结果． 【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1， ∴﹣3的倒数是﹣．
    故选：C．

    2．2016年1月19日，国家统计局公布了2015年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产总值为676000亿元．676000用科学记数法表示为（ ） A．6.76×106B．6.76×105C．67.6×105D．0.676×106 【考点】科学记数法—表示较大的数．
    【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将676000用科学记数法表示为6.76×105． 故选B．

    3．如图所示几何体的左视图为（ ）

    A． B． C． D．
    【考点】简单组合体的三视图．
    【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

    【解答】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故选：A．

    4．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是（ ） A．8，6B．7，6C．7，8D．8，7 【考点】众数；中位数．
    【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 精品文档

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    【解答】解：把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8， 8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8； 最中间的数是7，
    则这组数据的中位数是7． 故选D．

    5．下列计算结果正确的是（ ） A．a8÷a4=a2B．a2•a3=a6C．（a3）2=a6D．（﹣2a2）3=8a6
    【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
    【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方法则，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a8÷a4=a4，故A错误； B、a2•a3=a5，故B错误； C、（a3）2=a6，故C正确； D、（﹣2a2）3=﹣8a6，故D错误． 故选：C．

    6．二元一次方程组的解为（ ）
    A． B． C． D．
    【考点】二元一次方程组的解．
    【分析】根据加减消元法，可得方程组的解． 【解答】解：①+②，得 3x=9， 解得x=3，
    把x=3代入①， 得3+y=5， y=2，
    所以原方程组的解为．

    故选C．

    7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（ ）

    A．8B．10C．12D．14 精品文档

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    【考点】平行四边形的性质．
    【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC， ∴∠AFB=∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠FBC， 则∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=6，
    同理可证：DE=DC=6， ∵EF=AF+DE﹣AD=2， 即6+6﹣AD=2， 解得：AD=10； 故选：B．


    8．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE2；④S△ABC=4S△ADF．其中正确的有（ ）

    A．1个B．2 个C．3 个D．4个
    【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
    【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证出FE=AB，延长FD=FE，①正确；
    证出∠ABC=∠C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，由ASA证明△AEH≌△BEC，得出AH=BC=2CD，②正确； 证明△ABD～△BCE，得出=，即BC•AD=AB•BE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=AE2；③正确；
    由F是AB的中点，BD=CD，得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；即可得出结论． 【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高， ∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°， ∵点F是AB的中点， ∴FD=AB，
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    ∵∠ABE=45°，
    ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=BE，
    ∵点F是AB的中点， ∴FE=AB，
    ∴FD=FE，①正确；
    ∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°， ∴∠ABC=∠C， ∴AB=AC， ∵AD⊥BC，
    ∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE， 在△AEH和△BEC中，∴△AEH≌△BEC（ASA）， ∴AH=BC=2CD，②正确；
    ∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB， ∴△ABD～△BCE， ∴=，即BC•AD=AB•BE，
    ，
    ∵AE2=AB•AE=AB•BE，BC•AD=AC•BE=AB•BE， ∴BC•AD=AE2；③正确； ∵F是AB的中点，BD=CD，∴
    S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确； 故选：D．


    二、填空题（每小题3分，共24分） 9．分解因式：xy2﹣x= x（y﹣1）（y+1） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
    【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：xy2﹣x， =x（y2﹣1）， =x（y﹣1）（y+1）． 故答案为：x（y﹣1）（y+1）．

    10．不等式组的解集为 2＜x＜6 ．
    【考点】解一元一次不等式组．
    【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
    【解答】解：，由①得，x＞2，由②得，x＜6，
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    故不等式组的解集为：2＜x＜6． 故答案为：2＜x＜6．

    11．一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 \frac{2}{5} ． 【考点】概率公式．
    【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵一个袋中装有两个红球、三个白球， ∴球的总数=2+3=5，
    ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率=． 故答案为：．

    12．反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k= 7 ．
    【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
    【分析】根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数y=∴k﹣1=2×3， 解得：k=7． 故答案为：7．


    13．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为 60（1+x）2=100 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
    【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程． 【解答】解：设平均每月的增长率为x， 根据题意可得：60（1+x）2=100． 故答案为：60（1+x）2=100．

    14．观察下列数据：﹣2，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，依照此的图象经过点（2，3），
    规律，第11个数据是 ﹣\frac{122}{11} ．
    【考点】规律型：数字的变化类．
    【分析】根据题意可得：所有数据分母为连续正整数，第奇数个是负数，且分子是连续正整数的平方加1，进而得出答案． 【解答】解：∵﹣2=﹣，，﹣，，﹣，…，
    ∴第11个数据是：﹣精品文档
    =﹣．

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    故答案为：﹣．
    15．AE平分∠CAD，FA⊥AE，如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，交BC的延长线于点E，交CB延长线于点F，则EF的长为 6\sqrt{2} ．

    【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
    【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可 得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3， ∴AC=3，
    ∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE=∠DAE， ∵AD∥CE， ∴∠DAE=∠E， ∴∠CAE=∠E， ∴CE=CA=3， ∵FA⊥AE，
    ∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°， ∴∠FAC=∠F， ∴CF=AC=3，
    =6， ∴EF=CF+CE=3故答案为：6． 16．A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，如图，在平面直角坐标系中，连接AB．点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与△AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为 （3，4）\frac{72}{25}）\frac{28}{25}） 或（\frac{96}{25}，或（﹣\frac{21}{25}，
    ．
    【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质． 【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边，且△AOB为直角三角形，当△AOB和△APB全等时，则可知△APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出P点的坐标． 【解答】解：如图所示： ①∵OA=3，OB=4， ∴P1（3，4）； 精品文档

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    ②连结OP2，
    设AB的解析式为y=kx+b，则
    ，
    解得．
    故AB的解析式为y=﹣x+4， 则OP2的解析式为y=x，
    联立方程组得，
    解得，
    则P2（，）；
    ③连结P2P3，
    ∵（3+0）÷2=1.5， （0+4）÷2=2， ∴E（1.5，2）， ∵1.5×2﹣2×2﹣∴P3（﹣==﹣，
    ，）．
    ，    ）或（﹣    ，，）．
    ）．
    ，
    故点P的坐标为（3，4）或（故答案为：（3，4）或（，）或（﹣


    三、解答题（每小题8分，共16分） 精品文档

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    |﹣（）﹣1+（π﹣2016）0．
    17．计算：4sin60°+|3﹣【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
    【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0的值是多少即可．
    |﹣（）﹣1+（π﹣2016）0
    【解答】解：4sin60°+|3﹣=4×=2=4+2﹣3﹣2+1 +2﹣4 ﹣4

    18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
    （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．

    【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
    （2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
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    四、（每小题10分，共20分）
    19．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
    （1）此次共调查了多少人？
    （2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数； （3）请将条形统计图补充完整；
    （4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）根据体育人数80人，占40%，可以求出总人数． （2）根据圆心角=百分比×360°即可解决问题．
    （3）求出艺术类、其它类社团人数，即可画出条形图． （4）用样本百分比估计总体百分比即可解决问题． 【解答】解：
    （1）80÷40%=200（人）． ∴此次共调查200人． （2）×360°=108°．
    ∴文学社团在扇形统计图中所占 圆心角的度数为108°． （3）补全如图，
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    （4）1500×40%=600（人）．

    ∴估计该校喜欢体育类社团的学生有600人．

    20．甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
    （1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； （2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释． 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可． 【解答】解：（1）所有可能出现的结果如图：
    从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为：；
    （2）不公平．
    从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：． ∵＞，
    ∴甲获胜的概率大，游戏不公平．



    五、（每小题10分，共20分）
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    21．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？ 【考点】分式方程的应用．
    【分析】设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，根据购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元， 根据题意，得﹣=15，
    解这个方程，得x=6，
    经检验，x=6是所列方程的根， ∴2x=2×6=12（元），
    答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元．

    22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：∠BDC=∠A；
    （2）若CE=4，DE=2，求AD的长．

    【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；
    （2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到，解方程即可得到结论．
    【解答】（1）证明：连接OD， ∵CD是⊙O切线， ∴∠ODC=90°，
    即∠ODB+∠BDC=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，
    即∠ODB+∠ADO=90°， ∴∠BDC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠A， ∴∠BDC=∠A；

    （2）∵CE⊥AE， ∴∠E=∠ADB=90°， 精品文档

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    ∴DB∥EC，
    ∴∠DCE=∠BDC， ∵∠BDC=∠A， ∴∠A=∠DCE， ∵∠E=∠E，
    ∴△AEC∽△CED， ∴，
    ∴EC2=DE•AE， ∴16=2（2+AD）， ∴AD=6．

    六、（每小题10分，共20分）
    23．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米） （参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）

    【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
    【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣BD可得关于AB 的方程，解方程可得．
    【解答】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48° 在Rt△ADB中，tan64°=则BD=≈AB，
    ， ，
    在Rt△ACB中，tan48°=则CB=≈AB，
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    精品文档 ∴CD=BC﹣BD 即6=AB﹣AB ≈14.7（米），
    解得：AB=∴建筑物的高度约为14.7米．


    24．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式；
    （2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？ （3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？

    【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值． （3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题． 【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，
    解得，
    ∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80， （2）根据题意，得， （﹣0.5x+80）（80+x）=6750， 解得，x1=10，x2=70 ∵投入成本最低．
    ∴x2=70不满足题意，舍去．
    ∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克． （3）根据题意，得 w=（﹣0.5x+80）（80+x） =﹣0.5 x2+40 x+6400 =﹣0.5（x﹣40）2+7200 ∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值 ∴当x=40时，w最大值为7200千克． 精品文档

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    ∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克． 七、（本题12分）
    25．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD． （1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论； （2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
    （3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

    【考点】相似形综合题． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN； （2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；
    （3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN． 【解答】解：
    （1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下： ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°． 在△ACE和△BCD中
    ，
    ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
    ∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点， ∴PM=BD，PN=AE，
    ∴PM=PM，
    ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°， ∴∠MPN=90°， 精品文档

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    即PM⊥PN；
    （2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD， ∠ACB=∠ECD=90°．
    ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD．
    ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 又∵∠AOC=∠BOE， ∠CAE=∠CBD，
    ∴∠BHO=∠ACO=90°．
    ∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， ∴PM=BD，PM∥BD； PN=AE，PN∥AE．
    ∴PM=PN．
    ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°．
    ∴PM⊥PN． （3）PM=kPN ∵△ACB和△ECD是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°．
    ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴=k．
    ∴△BCD∽△ACE．
    ∴BD=kAE．

    ∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点， ∴PM=BD，PN=AE．
    ∴PM=kPN． 八、（本题14分）
    26．如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
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    （1）求抛物线的表达式；
    （2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
    （3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；
    （2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；
    （3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；
    （4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算． 【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中， 得
    解得：，
    ∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x； （2）点C的坐标为（3，3）， 又∵点B的坐标为（1，3）， ∴BC=2，
    ∴S△ABC=×2×3=3；

    （3）过P点作PD⊥BH交BH于点D， 设点P（m，﹣m2+4m），
    根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1， ∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，
    6=×3×3+（3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣（m﹣1）（3+m2﹣4m）， ∴3m2﹣15m=0， m1=0（舍去），m2=5， ∴点P坐标为（5，﹣5）． 精品文档

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    （4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： ①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°， 则△CBM≌△MHN，
    ∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1， ∴M（1，2），N（2，0）， 由勾股定理得：MC=∴S△CMN=××=；
    =，

    ②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC， 得Rt△NEM≌Rt△MDC， ∴EM=CD=5，MD=ME=2，

    由勾股定理得：CM=
    ∴S△CMN=××=；
    =，
    ③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线， 同理得：CN=
    ∴S△CMN=×
    CN=④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：∴S△CMN=××=5；
    =
    ，    ×=17；
    =，
    ⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；

    综上所述：△CMN的面积为：或

    或17或5．
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